Question

7．已知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右兩個焦點，P為橢圓上的一點，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={c^2}$，則橢圓的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$
• B． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• C． $[\frac{1}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• D． $[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，可得：${y}_{0}^{2}$=$^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$．由于$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={c^2}$，可得${x}_{0}^{2}-{c}^{2}+{y}_{0}^{2}$=c²，化為${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}（3{c}^{2}-{a}^{2}）$，利用$0≤{x}_{0}^{2}≤{a}^{2}$，及其離心率計算公式即可得出．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，
∴${y}_{0}^{2}$=$^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$．
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={c^2}$，
∴（-c-x₀，-y₀）•（c-x₀，-y₀）=c²，
化為${x}_{0}^{2}-{c}^{2}+{y}_{0}^{2}$=c²，
∴${x}_{0}^{2}+^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$=2c²，
化為${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}（3{c}^{2}-{a}^{2}）$，
∵$0≤{x}_{0}^{2}≤{a}^{2}$，
∴0≤$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}（3{c}^{2}-{a}^{2}）$≤a²，
解得$\frac{\sqrt{3}}{3}≤e≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)、不等式的解法，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．