Question

18．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，又tanA=$\frac{1}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC最短邊的長為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求△ABC面積．

Answer 1

分析 （1）由題意和同角三角函數基本關系可得tanB=$\frac{1}{3}$或tanB=-$\frac{1}{3}$，分別可得tanC的值，注意驗證符合三角形內角和定理方可；
（2）易得c為最大邊，b為最小邊，解三角形可得AD和BC，代入面積公式S=$\frac{1}{2}$BC•AD計算可得．

解答 解：（1）∵sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴cosB=±$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，∴tanB=$\frac{1}{3}$或tanB=-$\frac{1}{3}$；
當tanB=$\frac{1}{3}$時，tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-1；
當tanB=-$\frac{1}{3}$時，tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{1}{7}$，
此時BC均為鈍角，與三角形內角和定理矛盾，應舍去；
∴tanC=-1；
（2）∵tanA＞tanB＞0，而tanC=-1，∴C=135°
∴c為最大邊，b為最小邊，
延長BC作BC的高AD交BC于D點，可得BC上的高AD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$sin135°=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴AB=$\frac{AD}{sinB}$=1，BD=ABcosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，CD=-ACcosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
∴BC=BD-CD=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，∴△ABC面積S=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{10}$

點評 本題考查三角形的基本運算，涉及兩角和與差的三角函數公式以及三角形的邊角關系，屬中檔題．