Question

7．已知兩圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和C₂：（x-4）²+（y-5）²=4．
（1）若過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線l與兩圓相交所得的弦相等，求直線l的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)（-1.5，3.5）存在兩條互相垂直的直線l和m，它們分別與兩圓相交所得的弦相等，求直線l和m的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線方程，利用過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線l與兩圓相交所得的弦相等，圓的半徑相等，圓心到直線的距離相等，即可求出直線方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程，利用過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線l與兩圓相交所得的弦相等，圓的半徑相等，圓心到直線的距離相等，即可求出直線方程；

解答 解：（1）設(shè)直線方程為y=kx+1，即kx-y+1=0，
∵過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線l與兩圓相交所得的弦相等，圓的半徑相等，
∴圓心到直線的距離相等，即$\frac{|-3k-1+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|4k-5+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，∴k=4或$\frac{4}{7}$；
（2）設(shè)l：y-3.5=t（x+1.5），則m：y-3.5=-$\frac{1}{t}$（x+1.5），
∵過(guò)點(diǎn)（-1.5，3.5）存在兩條互相垂直的直線l和m，它們分別與兩圓相交所得的弦相等，
∴圓心到直線的距離相等，即$\frac{|-3t-4+1.5t+3.5|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=$\frac{|4+5t-3.5t+1.5|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，∴t=-2，
∴l(xiāng)：2x+y-0.5=0，m：x-2y+8.5=0，
斜率不存在時(shí)，l：x=-1.5，m：y=3.5也滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓中弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．