Question

12．若關于x的方程（x-1）⁴+mx-m-2=0各個實根x₁，x₂…x_k（k≤4，k∈N^*）所對應的點（x_i•$\frac{2}{{x}_{i}-1}$），（i=1，2，3…k）均在直線y=x的同側，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，7）
• B． （-∞，-7）U（-1，+∞）
• C． （-7，1）
• D． （-∞，1）U（7，+∞）

Answer 1

分析 原方程等價于（x-1）³+m=$\frac{2}{x-1}$，原方程的實根是曲線y=（x-1）³+m與曲線y=$\frac{2}{x-1}$的交點的橫坐標，分別作出左右兩邊函數(shù)的圖象：分m＞0與m＜0討論，可得答案．

解答 解：方程的根顯然x≠1，原方程等價于（x-1）³+m=$\frac{2}{x-1}$，
原方程的實根是曲線y=（x-1）³+m與曲線y=$\frac{2}{x-1}$的交點的橫坐標．
而曲線y=（x-1）³+m是由曲線y=（x-1）³向上或向下平移|m|個單位而得到的，
若交點（xi，$\frac{2}{{x}_{i}-1}$）（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側，
因直線y=x與y=$\frac{2}{x-1}$交點為：（-1，-1），（2，2）；
所以結合圖象可得，

由（2-1）³+m=2，解得：m=1，由（-1-1）³+m=-1，解得：m=7
∴m＜1或m＞7，
故選：D．

點評 本題綜合考查了反比例函數(shù)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點問題，數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質，屬于中檔題．