Question

4．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=-$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+2}$
（2）y=$\frac{-{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$
（3）y=$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{{x}^{2}-3x+2}$．

Answer 1

分析 （1）分x為0和不為0變形，然后利用基本不等式求得函數(shù)值域；
（2）分x為0和不為0變形，當(dāng)x≠0時(shí)由x²≥0求得答案；
（3）直接利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)值域．

解答 解：（1）由y=-$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+2}$=-1+$\frac{x}{{x}^{2}+2}$．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1；
當(dāng)x＞0時(shí)，y=-1+$\frac{1}{x+\frac{2}{x}}$，
∵x+$\frac{2}{x}≥2\sqrt{2}$，∴$0＜\frac{1}{x+\frac{2}{x}}≤\frac{1}{2\sqrt{2}}$，則y∈（-1，$\frac{\sqrt{2}}{4}-1$]；
當(dāng)x＜0時(shí)，y=-1+$\frac{1}{x+\frac{2}{x}}$，
∵$x+\frac{2}{x}≤-2\sqrt{2}$，∴$-\frac{1}{2\sqrt{2}}≤\frac{1}{x+\frac{2}{x}}＜0$，則y∈[$-\frac{\sqrt{2}}{4}-1，-1$）．
∴y=-$\frac{{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+2}$的值域?yàn)閇$-\frac{\sqrt{2}}{4}-1，-1$）∪（-1，$\frac{\sqrt{2}}{4}-1$]∪{-1}；
（2）由y=$\frac{-{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$．
當(dāng)x=0時(shí)，y=0；
當(dāng)x≠0時(shí)，y=$-\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$，
∵x²≥0，∴$\frac{1}{{x}^{2}}＞0$，則$1+\frac{1}{{x}^{2}}＞1$，$0＜\frac{1}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}＜1$，y∈（-1，0），
∴函數(shù)y=$\frac{-{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$的值域?yàn)椋?1，0]；
（3）∵函數(shù)y=$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{{x}^{2}-3x+2}$的定義域?yàn)閇3，+∞），
函數(shù)在[3，+∞）上為增函數(shù)，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)值域的求法，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域，是中檔題．