Question

17．在矩形ABCD，AB=2，AD=1，邊DC上（包含點(diǎn)D、C）的動(dòng)點(diǎn)P與CB延長(zhǎng)線上（包含點(diǎn)B）的動(dòng)點(diǎn)Q滿足|$\overline{DP}$|=|$\overline{BQ}$|，則向量$\overline{PA}$與向量$\overline{PQ}$的數(shù)量積$\overline{PA}$•$\overline{PQ}$的最小值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，1），則Q（2，-x）（0≤x≤2），求得向量$\overline{PA}$•$\overline{PQ}$，再由二次函數(shù)的最值求法，即可得到最小值．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)P（x，1），則Q（2，-x）（0≤x≤2），
$\overrightarrow{PA}$=（-x，-1），$\overrightarrow{PQ}$=（2-x，-x-1），
即有$\overline{PA}$•$\overline{PQ}$=-x（2-x）+x+1=x²-x+1
=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$∈[0，2]時(shí)，取得最小值$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，同時(shí)考查二次函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．