Question

18．已知O是△ABC所在平面內一點，且滿足（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}$）=0，判斷△ABC是哪類三角形．

Answer 1

分析 利用向量的運算法則將等式中的向量 $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$用三角形的各邊對應的向量表示，得到邊的關系，得出三角形的形狀．

解答 解：∵（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OA}$）=$\overrightarrow{CB}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）
=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{AC}$²=0，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，
∴△ABC為等腰三角形．

點評 此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有：平面向量加減的平行四邊形法則，平面向量的數(shù)量積運算，平面向量模的運算，以及等腰三角形的判定方法，熟練掌握平面向量的數(shù)量積運算法則是解本題的關鍵．