Question

11．證明：“雙勾函數(shù)”f（x）=ax+$\frac{x}$（a＞0，b＞0）：在 （-∞，-$\sqrt{\frac{a}}$]，[$\sqrt{\frac{a}}$，+∞）上單調(diào)遞增，在[-$\sqrt{\frac{a}}$，0），（0，$\sqrt{\frac{a}}$]上單調(diào)遞減．

Answer 1

分析 方法1：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明函數(shù)的單調(diào)性即可．
方法2：利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=a-$\frac{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-b}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得$\frac{a{x}^{2}-b}{{x}^{2}}$＞0，即ax²-b＞0，即x²＞$\frac{a}$，解得x＞$\sqrt{\frac{a}}$或x＜-$\sqrt{\frac{a}}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得$\frac{a{x}^{2}-b}{{x}^{2}}$＜0，即ax²-b＜0，即x²＜$\frac{a}$，解得-$\sqrt{\frac{a}}$＜x＜$\sqrt{\frac{a}}$且x≠0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)f（x）在 （-∞，-$\sqrt{\frac{a}}$]，[$\sqrt{\frac{a}}$，+∞）上單調(diào)遞增，在[-$\sqrt{\frac{a}}$，0），（0，$\sqrt{\frac{a}}$]上單調(diào)遞減．
方法2：定義法：
設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=ax₁+$\frac{{x}_{1}}$-ax₂-$\frac{{x}_{2}}$=a（x₁-x₂）+$\frac{b（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（a-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）$\frac{a{x}_{1}{x}_{2}-b}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
若0＜x₁＜x₂＜$\sqrt{\frac{a}}$，則0＜x₁x₂＜$\frac{a}$，則0＜ax₁x₂＜b，-b＜ax₁x₂-b＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
若$\sqrt{\frac{a}}$＜x₁＜x₂，則x₁x₂＞$\frac{a}$，則ax₁x₂＞b，ax₁x₂-b＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
同理當(dāng)在 （-∞，-$\sqrt{\frac{a}}$]上單調(diào)遞增，在[-$\sqrt{\frac{a}}$，0）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．