Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足：（1+a₁）•（2+a₂）•（4+a₃）•…•（2^n-1+a_n）=n²，則{a_n}的通項公式為$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{（\frac{n}{n-1}）^{2}-{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知條件，先令n=1，求出a₁；再利用原式求出n≥2時數(shù)列的前n-1項的表達式，把原式與n≥2時數(shù)列的前n-1項的表達式相除，由此能得到a_n關(guān)于n的方程，從而能求出{a_n}的通項公式．

解答 解：∵（1+a₁）•（2+a₂）•（4+a₃）•…（2^n-2+a_n-1）•（2^n-1+a_n）=n²，①
∴（1+a₁）•（2+a₂）•（4+a₃）•…•（2^n-2+a_n-1）=（n-1）²，n≥2，②
∴當n=1時，1+a₁=1，解得a₁=0，
當n≥2時，$\frac{①}{②}$，得${2}^{n-1}+{a}_{n}=（\frac{n}{n-1}）^{2}$，
∴a_n=$（\frac{n}{n-1}）^{2}-{2}^{n-1}$．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{（\frac{n}{n-1}）^{2}-{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{（\frac{n}{n-1}）^{2}-{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意作商法和分類討論思想的合理運用．