Question

4．已知sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，求：
（1）$\frac{sinα-4cosα}{5sinα+2cosα}$；
（2）sin²α+2sinαcosα

Answer 1

分析 （1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得tanα的值，可得$\frac{sinα-4cosα}{5sinα+2cosα}$=$\frac{tanα-4}{5tanα+2}$的值．
（2）把tanα的值，代入$\frac{sinα-4cosα}{5sinα+2cosα}$=$\frac{tanα-4}{5tanα+2}$，計算求得結(jié)果．

解答 解：（1）∵sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，∴1+2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，∴sinαcosα=-$\frac{12}{25}$．
再根據(jù) sinαcosα=$\frac{sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{tanα}{{tan}^{2}α+1}$=-$\frac{12}{25}$，求得tanα=-$\frac{4}{3}$，或tanα=-$\frac{3}{4}$．
當tanα=-$\frac{4}{3}$，$\frac{sinα-4cosα}{5sinα+2cosα}$=$\frac{tanα-4}{5tanα+2}$=$\frac{-\frac{4}{3}-4}{-\frac{20}{3}+2}$=$\frac{8}{7}$；
當tanα=-$\frac{3}{4}$，$\frac{sinα-4cosα}{5sinα+2cosα}$=$\frac{tanα-4}{5tanα+2}$=$\frac{-\frac{3}{4}-4}{-\frac{15}{4}+2}$=-$\frac{19}{7}$．
（2）當tanα=-$\frac{4}{3}$，sin²α+2sinαcosα=$\frac{{sin}^{2}α+2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{{tan}^{2}α+2tanα}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{\frac{16}{9}-\frac{8}{3}}{\frac{16}{9}+1}$=-$\frac{8}{25}$，
當tanα=-$\frac{3}{4}$，sin²α+2sinαcosα=$\frac{{sin}^{2}α+2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{{tan}^{2}α+2tanα}{{tan}^{2}α+1}$=-$\frac{3}{5}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．


當α為第四象限角時，若cosα=$\frac{4}{5}$，sinα=-$\frac{3}{5}$，則tanα=-$\frac{3}{4}$，此時滿足sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，為什么不行的？請給指導(dǎo)，謝謝