Question

15．△ABC的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記m_a，m_b，m_c，應用余弦定理證明：
m_a=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（^{2}+{c}^{2}）-{a}^{2}}$，m_b=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{a}^{2}+{c}^{2}）-^{2}}$，m_c=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）-{c}^{2}}$．

Answer 1

分析 設BC邊上的中線為AD，分別在△ABD和△ACD中，運用余弦定理，結合誘導公式，兩式相加即可得到m_a=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（^{2}+{c}^{2}）-{a}^{2}}$，同理可證m_b=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{a}^{2}+{c}^{2}）-^{2}}$，m_c=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）-{c}^{2}}$．

解答 證明：設BC邊上的中線為AD，
在△ABD中，c²=m_a²+（$\frac{1}{2}$a）²-2•$\frac{1}{2}$a•m_a•cos∠ADB，①
在△ACD中，b²=m_a²+（$\frac{1}{2}$a）²-2•$\frac{1}{2}$a•m_a•cos∠ADC，②
由于∠ADB+∠ADC=π，
則cos∠ADB+cos∠ADC=0，
①+②，可得c²+b²=2m_a²+$\frac{1}{2}$a²，
即有m_a=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（^{2}+{c}^{2}）-{a}^{2}}$，
同理可證m_b=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{a}^{2}+{c}^{2}）-^{2}}$，
m_c=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）-{c}^{2}}$．

點評 本題考查余弦定理的運用，同時誘導公式的運用，考查化簡運算能力，屬于基礎題．