Question

14．已知一個三角形的兩個內角分別是45°，60°，它們所夾邊的長是1，求最小邊長．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{sin75°}$，從而解得a的值，利用大邊對大角的知識即可知a為三角形最小邊，從而得解．

解答 解：∵由題意，不妨設A=45°，B=60°，則c=1，C=180°-A-B=75°，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$可得$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{sin75°}$，
∵sin75°=sin[180°-（60°+45°）]=sin（60°+45°）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
∴解得：a=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{sin75°}$=$\sqrt{3}-1$，
∵A＜B＜C，故最小邊長為a=$\sqrt{3}-1$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，大邊對大角等知識的應用，熟練掌握正弦定理是解題的關鍵，屬于基礎題．