Question

18．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，它的一個頂點恰好在拋物線x²=8y的準(zhǔn)線上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點P（2，$\sqrt{3}$），Q（2，-$\sqrt{3}$）在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點．
（i）若直線AB的斜率為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，求四邊形APBQ面積的最大值；
（ii）當(dāng)A，B運動時，滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），由橢圓的一個頂點恰好在拋物線x²=8y的準(zhǔn)線y=-2上，可得-b=-2，解得b．又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可．
（2）（i）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{6}x+t$，與橢圓方程聯(lián)立化為${x}^{2}+\sqrt{3}tx+3{t}^{2}$-12=0，由△＞0，解得$-\frac{4\sqrt{3}}{3}＜t＜\frac{4\sqrt{3}}{3}$，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．四邊形APBQ面積S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×|{x}_{1}-{x}_{2}|$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（ii）由∠APQ=∠BPQ，則PA，PB的斜率互為相互數(shù)，可設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，直線PA的方程為：$y-\sqrt{3}$=k（x-2），與橢圓的方程聯(lián)立化為$（1+4{k}^{2}）{x}^{2}+8k（\sqrt{3}-2k）x$+4$（\sqrt{3}-2k）^{2}$-16=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵橢圓的一個頂點恰好在拋物線x²=8y的準(zhǔn)線y=-2上，
∴-b=-2，解得b=2．
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
∴a=4，$c=2\sqrt{3}$，
可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2））（i）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{6}x+t$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{6}x+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，化為${x}^{2}+\sqrt{3}tx+3{t}^{2}$-12=0，
由△＞0，解得$-\frac{4\sqrt{3}}{3}＜t＜\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\sqrt{3}t$，x₁x₂=3t²-12，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{48-9{t}^{2}}$．
四邊形APBQ面積S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{3}\sqrt{48-9{t}^{2}}$，當(dāng)t=0時，S_max=12．
（ii）∵∠APQ=∠BPQ，則PA，PB的斜率互為相反數(shù)，
可設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，
直線PA的方程為：$y-\sqrt{3}$=k（x-2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{3}=k（x-2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，
化為$（1+4{k}^{2}）{x}^{2}+8k（\sqrt{3}-2k）x$+4$（\sqrt{3}-2k）^{2}$-16=0，
∴x₁+2=$\frac{8k（2k-\sqrt{3}）}{1+4{k}^{2}}$，
同理可得：x₂+2=$\frac{-8k（-2k-\sqrt{3}）}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{8k（2k+\sqrt{3}）}{1+4{k}^{2}}$，
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-16\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$，
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直線AB的斜率為定值$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、斜率計算公式、四邊形面積最大值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．