Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對(duì)任意的t＞0，方程f（x）-t=0關(guān)于x在（1，+∞）上有唯一解a，使t=f（a）．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)f（x）的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=2xlnx+x=x（2lnx+1），從而由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）可判斷當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）≤0，再由當(dāng)x≥1時(shí)，設(shè)t＞0，h（x）=f（x）-t，從而可得h（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而再由h（1）=-t＜0，h（e^t）=e^2tlne^t-t=t（e^2t-1）＞0可證明．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=2xlnx+x=x（2lnx+1），
令f′（x）=0解得，x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$；
故當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$），單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，+∞）；
（2）證明：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）≤0，
當(dāng)x≥1時(shí)，設(shè)t＞0，h（x）=f（x）-t，
由（1）知，h（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（1）=-t＜0，h（e^t）=e^2tlne^t-t=t（e^2t-1）＞0；
故存在唯一解a∈（1，+∞），使t=f（a）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．