Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：x＞1時(shí)，x+（x-3）e${\;}^{\frac{x}{2}}$lnx＞0．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）通過求導(dǎo)得到g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而有g(shù)（x）≤g（2），推出x＞1時(shí)，f（x）＞g（x），從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，定義域?yàn)椋海?，1）∪（1，+∞），
∴f′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{{（lnx）}^{2}}$，
由f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{e}$，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜1或1＜x＜$\sqrt{e}$，
∴f（x）在（$\sqrt{e}$，+∞）單調(diào)遞增，在（0，1）和（1，$\sqrt{e}$）單調(diào)遞減；
（2）由（1）知：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）_最小值=f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{ln\sqrt{e}}$=2e，
令g（x）=（-x²+3x）${e}^{\frac{x}{2}}$，x∈（1，+∞），則g′（x）=-$\frac{1}{2}$（x-2）（x+3）${e}^{\frac{x}{2}}$，
由g′（x）＞0得g（x）在（1，2）單調(diào)遞增，
由g′（x）＜0得g（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（2）=2e，
∴x＞1時(shí)，f（x）＞g（x），
即x+（x-3）e${\;}^{\frac{x}{2}}$lnx＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．