Question

4．已知命題p：?x∈R，x+|x-a|＞3恒成立，命題q：函數(shù)f（x）=lg[-x²+（a-2）x+2a]在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減．
（1）若p∨（￢q）是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值集合A；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=4^x-m•2^x+25，在（1）的前提下，當(dāng)x∈A時(shí)，關(guān)于x的方程g（x）=0只有一個實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先通過去絕對值，復(fù)合函數(shù)及二次函數(shù)的單調(diào)性求出命題p，q為真時(shí)a的取值范圍：p為真，a＞3，q為真，2＜a≤4，然后由p∨（￢q）為假可以判斷出p假q真，這樣求出p假和q真時(shí)的a的取值范圍再求交集即可；
（2）由上面知A=（2，3]，換元，令2^x=t，（4＜t≤8），便得到函數(shù)G（t）=t²-mt+25，進(jìn)而得到方程G（t）=0在區(qū)間（4，8]上只有一個實(shí)數(shù)根，從而需滿足G（4）g（8）≤0，解不等式即可得到m的取值范圍．

解答 解：（1）若p為真，$x+|x-a|=\left\{\begin{array}{l}{2x-a＞3}&{x≥a}\\{a＞3}&{x＜a}\end{array}\right.$；
解2x-a＞3得，x$＞\frac{3+a}{2}$；
要對任意的x≥a，2x-a＞3成立，則：$\frac{3+a}{2}＜a$；
∴a＞3；
若q為真，設(shè)h（x）=-x²+（a-2）x+2a，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，h（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，且h（x）＞0；
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}≤1}\\{h（1）=3a-3＞0}\\{h（2）=4a-8＞0}\end{array}\right.$；
解得2＜a≤4；
若p∨（￢q）為假命題，則p假q真；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤3}\\{2＜a≤4}\end{array}\right.$；
∴實(shí)數(shù)a的取值集合A=（2，3]；
（2）設(shè)2^x=t，（4＜t≤8）；
∴得到函數(shù)t²-mt+25，設(shè)G（t）=t²-mt+25，則方程G（t）=0在（4，8]上只有一個實(shí)根；
∴G（4）•G（8）≤0；
∴（41-4m）（89-8m）≤0；
解得$\frac{41}{4}≤m≤\frac{89}{8}$；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為$[\frac{41}{4}，\frac{89}{8}]$．

點(diǎn)評 考查含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，復(fù)合函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)，p∨q，￢q的真假和p，q真假的關(guān)系，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過換元解題的方法．