Question

4．已知f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ln[2x²-2（a+1）x+a（a+1）]，其中0＜a＜2
（1）求函數(shù)f（x）的定義域D（用區(qū)間表示）
（2）討論函數(shù)f（x）在D上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義得到不等式組解出即可；（2）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）由題意得：
$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{2x}^{2}-2（a+1）x+a（a+1）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{2（x-\frac{a+1}{2}）}^{2}+\frac{{（a-1）}^{2}}{2}＞0}\end{array}\right.$，
∴x＞0，
∴函數(shù)f（x）的定義域D為：（0，+∞）；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4x-2（a+1）}{2[{2x}^{2}-2（a+1）x+a（a+1）]}$
=$\frac{（a+1）（-x+a）}{x[{2x}^{2}-2（a+1）x+a（a+1）]}$，（0＜a＜2），
令f′（x）＞0，解得：x＜a，令f′（x）＜0，解得：x＞a，
∴f（x）在（0，a）遞增，在（a，+∞）遞減．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)的定義，是一道中檔題．