Question

17．已知雙曲線C以橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的頂點為焦點，以橢圓的焦點為頂點．過雙曲線C的右焦點的直線l交雙曲線于A、B兩點．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若△OAB的面積（其中O為坐標原點）為6，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的頂點和焦點，可得雙曲線的焦點和頂點，設出雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），可得a，b，進而得到雙曲線的方程；
（2）設直線l的方程為x=my+2，代入雙曲線的方程可得y的方程，運用韋達定理和三角形的面積公式，解方程可得m，進而得到直線方程．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的頂點為（-2，0），（2，0），
橢圓的焦點為（-1，0），（1，0），
設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
即有a=1，c=2，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）雙曲線C的右焦點為（2，0），
設直線l的方程為x=my+2，
代入雙曲線的方程可得，（3m²-1）y²+12my+9=0，
3m²-1≠0，△=144m²-36（3m²-1）＞0恒成立，
y₁+y₂=-$\frac{12m}{3{m}^{2}-1}$，y₁y₂=$\frac{9}{3{m}^{2}-1}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{6\sqrt{1+{m}^{2}}}{|3{m}^{2}-1|}$，
即有△OAB的面積為S=S_△OAF+S_△OBF
=$\frac{1}{2}$×2|y₁-y₂|=$\frac{6\sqrt{1+{m}^{2}}}{|3{m}^{2}-1|}$=6，
解方程可得m=0或±$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
即有直線l的方程為x=2或x-$\frac{\sqrt{7}}{3}$y-2=0或x+$\frac{\sqrt{7}}{3}$y-2=0．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質，考查直線和雙曲線的位置關系，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，運用韋達定理，考查運算能力，屬于中檔題．