Question

2．若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，又f（-3）=0，則不等式（x-2）f（x）＜0的解集為（　　）

• A． （-∞，-3）∪（2，3）
• B． （-3，-2）∪（3，+∞）
• C． （-3，3）
• D． （-2，3）

Answer 1

分析 利用函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系得到不等式f（x）＞0和f（x）＜0的解，然后將不等式（x-2）•f（x）＜0轉化為$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{x-2＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，②，進行求解．

解答 解：∵f（x）是偶函數(shù)，且在[0，+∞）內是增函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0]內是減函數(shù)，
∵f（-3）=-f（3）=0，
∴f（3）=0．
則f（x）對應的圖象如圖：
則不等式（x-2）•f（x）＜0等價為：
$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{x-2＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，②
由①得$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{-3＜x＜3}\end{array}\right.$，得2＜x＜3．
由②得$\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{x＞3或x＜-3}\end{array}\right.$，得x＜-3．
綜上：2＜x＜3或x＜-3．
故不等式的解集為：（-∞，-3）∪（2，3），
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系的應用，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．