Question

12．橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1內(nèi)有一點P（1，1）．
（1）求經(jīng)過P并且以P為中點的弦所在直線方程；
（2）如果直線l：x=my+4與橢圓E相交于A、B兩點，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設出C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），代入橢圓方程，兩式相減，再由中點坐標公式和斜率公式，可得直線的斜率，進而得到所求直線方程；
（2）設直線l：x=my+4與橢圓E相交于A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）兩點，代入橢圓方程，運用韋達定理和平板電視對于0，再由斜率向量的數(shù)量積的坐標表示，化簡整理，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設以P為中點的弦的直線與橢圓相交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，
兩式相減得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{3}$=0，
又x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
則k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
則所求直線方程為y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），即3x+4y-7=0；
（2）設直線l：x=my+4與橢圓E相交于A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）兩點，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+4}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$可得（4+3m²）y²+24my+36=0，
y₃+y₄=-$\frac{24m}{4+3{m}^{2}}$，y₃y₄=$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，
則x₃x₄=（my₃+4）（my₄+4）=m²y₃y₄+4m（y₃+y₄）+16=$\frac{64-12{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₃x₄+y₃y₄=$\frac{100-12{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$=-4+$\frac{116}{3{m}^{2}+4}$，
由△=（24m）²-4（4+3m²）•36＞0，可得m²＞4，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍是（-4，$\frac{13}{4}$）．

點評 本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查點差法求直線方程的方法和向量的數(shù)量積的坐標表示，屬于中檔題．