Question

4．△ABC的三邊長(zhǎng)分別為|AC|=3，|BC|=4，|AB|=5，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求|PA|²+||PB|²+|PC|²的最小值與最大值．

Answer 1

分析 以CA所在邊為x軸建立直角坐標(biāo)系，得內(nèi)切圓方程為（x-1）²+（y-1）²=1，設(shè)P坐標(biāo)為（x，y），化簡(jiǎn)要求的式子為22-2y，根據(jù)0≤y≤2，求得要求式子的值．

解答 解：如圖以C為原點(diǎn)，CA所在邊為x軸建立直角坐標(biāo)系，
則A（3，0），B（0，4），C（0，0）．
由直角△ABC，可得內(nèi)切圓的半徑r=$\frac{1}{2}$（3+4-5）=1，
得內(nèi)切圓方程為（x-1）²+（y-1）²=1，即為x²+y²=2x+2y-1，
設(shè)P坐標(biāo)為（x，y），
則|PA|²+|PB|²+|PC|²=（x-3）²+y²+x²+（y-4）²+x²+y²
=3x²+3y²-6x-8y+25=22-2y，
因?yàn)?≤y≤2，
所以22-2y∈[18，22]．
即有P為（1，2）時(shí)，取得最小值18；
P為（1，0）時(shí)，取得最大值22．

點(diǎn)評(píng) 本題考查坐標(biāo)法求最值的方法，考查直角三角形的內(nèi)切圓的方程，以及平面上兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．