Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-2bx-3（b∈R）
（1）若f（x）在區(qū)間[0，3]上不具有單調(diào)性，求b的取值范圍；
（2）若b=1且當x∈[0，3]時，f（x）＞m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在[0，3]上的最小值g（b）．

Answer 1

分析 （1）求得對稱軸，由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到b的范圍；
（2）求出對稱軸，求得最小值，由恒成立思想，即可得到m的范圍；
（3）求得對稱軸x=b，結(jié)合區(qū)間，討論當b≤0時，當b≥3時，當0＜b＜3時，運用單調(diào)性即可得到最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-2bx-3的對稱軸為x=b，
f（x）在區(qū)間[0，3]上不具有單調(diào)性，即有0＜b＜3，
則b的取值范圍是（0，3）：
（2）f（x）=x²-2x-3的對稱軸為x=1，
由于1∈[0，3]，則f（1）取得最小值，且為-4，
f（x）＞m恒成立，即有m＜-4；
（3）函數(shù)f（x）=x²-2bx-3的對稱軸為x=b，
當b≤0時，[0，3]為增區(qū)間，即有f（0）最小，且為-3；
當b≥3時，[0，3]為減區(qū)間，即有f（3）最小，且為6-6b；
當0＜b＜3時，x=b取得最小值，且為-3-b²．
則g（b）=$\left\{\begin{array}{l}{-3，b≤0}\\{-3-^{2}，0＜b＜3}\\{6-6b，b≥3}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的關系，同時考查不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．