Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=2[f（x）]²+3mf（x）+1有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜-1．

Answer 1

分析 先將函數(shù)進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問(wèn)題．結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，從而確定m的取值．

解答 解：令t=f（x），則原函數(shù)等價(jià)為y=2t²+3mt+1．
做出函數(shù)f（x）的圖象如圖，

圖象可知
當(dāng)t＜0時(shí)，函數(shù)t=f（x）有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)t=f（x）有三個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，函數(shù)t=f（x）有四個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)t=f（x）有三個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)t=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
要使關(guān)于x的函數(shù)y=2f²（x）+3mf（x）+1有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)y=2t²+3mt+1有兩個(gè)根t₁，t₂，
且0＜t₁＜1，t₂＞1或t₁=0，t₂=1，
令g（t）=2t²+3mt+1，則由根的分布可得，
將t=1，代入得：m=-1，
此時(shí)g（t）=2t²-3t+1的另一個(gè)根為t=$\frac{1}{2}$，不滿足t₁=0，t₂=1，
若0＜t₁＜1，t₂＞1，則$\left\{\begin{array}{l}△={9m}^{2}-8＞0\\ g（1）=3m+3＜0\\ m＜0\end{array}\right.$，
解得：m＜-1，
故答案為：m＜-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，以及二次函數(shù)根的分布，換元是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．