Question

20．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點為$（{\sqrt{3}，0}）$，且Γ上一點到其兩焦點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=x+m與橢圓Γ交于不同兩點A，B，若點P（0，1）滿足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點為$（{\sqrt{3}，0}）$，且Γ上一點到其兩焦點的距離之和為4，求出a，b，即可求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理確定AB的中點坐標(biāo)，利用R（0，1），且|RA|=|RB|，可得斜率之間的關(guān)系，從而可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點為$（{\sqrt{3}，0}）$，且Γ上一點到其兩焦點的距離之和為4，
∴$c=\sqrt{3}$，a=2．…（2分）
故b=1．…（4分）
故橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+4{y^2}-4=0\end{array}\right.$得5x²+8mx+4（m²-1）=0，
由△＞0得$m∈（{-\sqrt{5}，\sqrt{5}}）$．…（8分）
${x_1}+{x_2}=-\frac{8m}{5}$，得${y_1}+{y_2}=\frac{2m}{5}$，
故AB的中點$M（{-\frac{4m}{5}，\frac{m}{5}}）$．…（11分）
因為PM⊥AB，所以$\frac{{\frac{m}{5}-1}}{{-\frac{4m}{5}}}=-1$，…（13分）
得$m=-\frac{5}{3}$滿足條件．  …（15分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．