Question

10．如圖，已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q為線段PF₂的中點(diǎn)，則b的值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{6}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 通過畫出草圖，連結(jié)OQ可知OQ⊥PF₂且|OQ|=b，進(jìn)而可知OQ是三角形PF₁F₂的中位線，利用勾股定理計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：連結(jié)OQ，如圖，
∵線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點(diǎn)Q，
∴OQ⊥PF₂，且|OQ|=b，
又∵點(diǎn)Q為線段PF₂的中點(diǎn)，
∴直線OQ是線段PF₂的中垂線，
又∵點(diǎn)O是F₁F₂的中點(diǎn)，
∴OQ是三角形PF₁F₂的中位線，
∴|PF₁|=2|OQ|=2b，
由橢圓定義可知|QF₂|=$\frac{2×\sqrt{9}-2b}{2}$=3-b，|OF₂|=$\sqrt{9-^{2}}$，
根據(jù)勾股定理可知：9-b²=b²+（3-b）²，
解得：b=2，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．