Question

15．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（1，0），過F且斜率為1的直線l交拋物線C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得p=2，進(jìn)而得到拋物線方程；
（Ⅱ）求出直線方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，再由點(diǎn)到直線的距離公式，運(yùn)用三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（1，0），
即有$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．                                          
即有拋物線方程為y²=4x；                                    
（Ⅱ）直線方程為y=x-1，
聯(lián)立拋物線得x²-6x+1=0，
故x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
即有|AB|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{36-4}$=8．                            
又原點(diǎn)到直線距離為d=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．                             
故△OAB的面積為$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$•8=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．