Question

9．上海迪士尼樂園有一塊長(zhǎng)方形地ABCD，若要在此地塊上擬建一個(gè)Rt△MNP的主題樂園，已知AB=2km，AD=$\sqrt{3}$km，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AD上，點(diǎn)N在線段BC上，記∠NMB=α．
（1）當(dāng)α為何值時(shí)，Rt△MNP的面積S最大？并求出其最大值；
（2）當(dāng)α為何值時(shí)，Rt△MNP的周長(zhǎng)l最大？并求出其最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AP=y，BN=x，由互余的正切互為倒數(shù)，求得$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{π}{3}$，再由解直角三角形，可得三角形MNP的面積，再由二倍角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到最大值；
（2）運(yùn)用勾股定理可得NP，求得周長(zhǎng)l的表達(dá)式，令sinα+cosα=t，求得t的范圍，再由同角的平方關(guān)系，可得l關(guān)于t的函數(shù)式，即可得到最大值．

解答 解：（1）設(shè)AP=y，BN=x，
由題意可得，tanα•tan∠PMA=$\frac{BN}{BM}$•$\frac{PA}{AM}$=xy=1，
由y=$\frac{1}{x}$可得$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤x≤$\sqrt{3}$，
即$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{π}{3}$，
在直角三角形MNP中，MN=$\frac{BM}{cosα}$=$\frac{1}{cosα}$，
MP=$\frac{AM}{sinα}$=$\frac{1}{sinα}$，
則S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{sinα}$•$\frac{1}{cosα}$=$\frac{1}{sin2α}$，
由$\frac{π}{3}$≤2α≤$\frac{2π}{3}$，sin2α∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
即有當(dāng)α=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$時(shí)，S取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）由（1）可得MN=$\frac{1}{cosα}$，MP=$\frac{1}{sinα}$，
NP=$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}α}+\frac{1}{si{n}^{2}α}}$=$\frac{1}{sinαcosα}$，
即有l(wèi)=$\frac{1}{sinα}$+$\frac{1}{cosα}$+$\frac{1}{sinαcosα}$（$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{π}{3}$），
=$\frac{sinα+cosα+1}{sinαcosα}$，
令sinα+cosα=t，即t=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
由$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{π}{3}$，可得α+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]，
可得sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，1]，
即為t∈[$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\sqrt{2}$]，
又t²=1+2sinαcosα，可得sinαcosα=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
則l=$\frac{2（t+1）}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{t-1}$，
即有當(dāng)t=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$時(shí)，l取得最大值，且為2（$\sqrt{3}$+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及換元后新元的范圍，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．