Question

5．已知函數f（x）=-3x²-3x+$\frac{1}{4}$+b²，求x∈[-b，b]（b＞0）上的最值．

Answer 1

分析 根據函數f（x）=-3x²-3x+$\frac{1}{4}$+b²的圖象是開口朝下，且以直線x=-$\frac{1}{2}$為對稱軸的拋物線，分析函數f（x）在[-b，b]上的單調性，進而可得最值．

解答 解：∵函數f（x）=-3x²-3x+$\frac{1}{4}$+b²的圖象是開口朝下，且以直線x=-$\frac{1}{2}$為對稱軸的拋物線，
當-b≥$-\frac{1}{2}$，即0＜b≤$\frac{1}{2}$時，函數f（x）在[-b，b]上為減函數，
當x=-b時，函數f（x）取最大值-2b²+3b+$\frac{1}{4}$，
當x=b時，函數f（x）取最小值-2b²-3b+$\frac{1}{4}$，
當-b＜$-\frac{1}{2}$，即b＞$\frac{1}{2}$時，
函數f（x）在[-b，$-\frac{1}{2}$]上為增函數，在[$-\frac{1}{2}$，b]上為減函數，
當x=-$\frac{1}{2}$時，函數f（x）取最大值1+b²，
當x=b時，函數f（x）取最小值-2b²-3b+$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．