Question

6．已知：圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
求：（1）求直線l橫過定點P的坐標；
（2）求證：不論m取何值，直線l與圓恒有兩個交點；
（3）求直線l被圓M截得的弦長最小時的方程．

Answer 1

分析 （1）直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，可令系數(shù)為0，可得P（3，1）；
（2）將P的坐標代入圓的方程，可得P在圓內(nèi)，即可得證；
（2）當圓心C到直線l的距離最大時弦長最短，此時CP⊥l，求得直線CP的斜率，由垂直的條件，可得直線l的斜率，即m的值，進而得到直線l的方程．

解答 解：（1）直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
即為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$．
故直線l恒過點P（3，1）；
（2）證明：由于直線l恒過點P（3，1），
且（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
即有點P（3，1）在圓C內(nèi)，
∴直線l與圓C恒有兩個交點；                                
（3）當圓心C到直線l的距離最大時弦長最短，
此時CP⊥l，
圓C：（x-1）²+（y-2）²=25的圓心為C（1，2），
由直線CP的斜率為$\frac{2-1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，
即有直線l的斜率為2，即-$\frac{2m+1}{m+1}$=2，
即m=-$\frac{3}{4}$，
則直線l的方程為2x-y-5=0．

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系：相交，同時考查直線恒過定點的求法，以及弦長的最值的情況，屬于中檔題．