Question

8．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知g（x）=f（x）-（m-1）x+m．
i．若對任意x∈[m，m+1]，都有g(shù)（x）＜0恒成立，求實數(shù)m的范圍；
ii．關(guān)于x的不等式a≤g（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}（其中a，b為整數(shù)，且a＜b），試求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）要求二次函數(shù)的解析式，利用直接設(shè)解析式的方法，一定要注意二次項系數(shù)不等于零，在解答的過程中使用系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，解方程組求的結(jié)果．
（2）因為對任意x∈[m，m+1]，都有g(shù)（x）＜0恒成立，所以$\left\{\begin{array}{l}{g（m）≤0}\\{g（m+1）≤0}\end{array}\right.$，解得實數(shù)m的范圍；
（3）假設(shè)存在整數(shù)a，b（a＜b），使得關(guān)于x的不等式a≤f（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}．即a≤x²-mx+m-1≤b的解集為{x|a≤x≤b}．可得f（a）=a，f（b）=b．即x²-mx+m-1=x的兩個實數(shù)根為a，b．即可得出．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=-1得c=-1，
故f（x）=ax²+bx-1．
因為f（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）-1-（ax²+bx-1）=2x．
即2ax+a+b=2x，
根據(jù)系數(shù)對應(yīng)相等2a=2，a+b=0
所以a=1，b=-1，
所以f（x）=x²-x-1；
（2）g（x）=x²-x-1-（m-1）x+m=x²-mx-1-m，開口方向向上
因為對任意x∈[m，m+1]，都有g(shù)（x）＜0恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}{g（m）≤0}\\{g（m+1）≤0}\end{array}\right.$，解得m≥-1；
（3）假設(shè)存在整數(shù)a，b（a＜b），使得關(guān)于x的不等式a≤g（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}．
即a≤x²-mx+m-1≤b的解集為{x|a≤x≤b}．則g（a）=a，g（b）=b．
所以x²-mx+m-1=x的兩個實數(shù)根為a，b．
所以a+b=m+1，ab=m-1．
當(dāng)b=1時，a不存在，舍去；
當(dāng)b≠1時，a=1-$\frac{1}{b-1}$，只有b=2或0時，可得a=0，2．
又a＜b，
所以存在整數(shù)a=0，b=2時，使得關(guān)于x的不等式a≤g（x）≤b的解集為{x|a≤x≤b}．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、“三個二次”的關(guān)系，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．