Question

16．若函數(shù)g（x）=2x²+4tx-3，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，通過(guò)討論t的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域．

解答 解：g（x）=2x²+4tx-3=2（x+t）²-2t²-3，
對(duì)稱(chēng)軸x=-t，
①當(dāng)-t≤-1即t≥1時(shí)：
g（x）在[-1，1]遞增，
g（x）_min=g（-1）=-4t-1，g（x）_max=g（1）=4t-1，
∴函數(shù)的值域是：[-4t-1，4t-1]；
②當(dāng)-1＜-t≤0即0≤t＜1時(shí)：
g（x）在[-1，-t]遞減，在（-t，1]遞增，
g（x）_min=g（-t）=-2t²-3，g（x）_max=g（1）=4t-1，
∴函數(shù)的值域是：[-2t²-3，4t-1]；
③當(dāng)0＜-t＜1即-1t＜0時(shí)：
g（x）在[-1，-t]遞減，在（-t，1]遞增，
g（x）_min=g（-t）=-2t²-3，g（x）_max=g（-1）=-4t-1，
∴函數(shù)的值域是：[-2t²-3，-4t-1]；
④當(dāng)-t≥1即t≤-1時(shí)：
g（x）在[-1，1]遞減，
g（x）_min=g（1）=4t-1，g（x）_max=g（-1）=-4t-1，
∴函數(shù)的值域是：[4t-1，-4t-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性最值問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．