Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx（0≤x≤1）}\\{lo{g}_{2015}x（x＞1）}\end{array}\right.$若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2015）
• B． （1，2016）
• C． （2，2016）
• D． [2，2016]

Answer 1

分析 0≤x≤1，可得sinπx∈[0，1]，且x∈$[0，\frac{1}{2}]$時(shí)，函數(shù)f（x）=sinπx單調(diào)遞增；x∈$[\frac{1}{2}，1]$時(shí)，函數(shù)f（x）=sinπx單調(diào)遞減．x＞1，log₂₀₁₅x＞0，且函數(shù)f（x）=log₂₀₁₅x單調(diào)遞增，log₂₀₁₅2015=1．不妨設(shè)0＜a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），可得a+b=1，2015＞c＞1，即可得出．

解答 解：∵0≤x≤1，∴sinπx∈[0，1]，且x∈$[0，\frac{1}{2}]$時(shí)，函數(shù)f（x）=sinπx單調(diào)遞增，函數(shù)值由0增加到1；
x∈$[\frac{1}{2}，1]$時(shí)，函數(shù)f（x）=sinπx單調(diào)遞減，函數(shù)值由1減少到0；
x＞1，∴l(xiāng)og₂₀₁₅x＞0，且函數(shù)f（x）=log₂₀₁₅x單調(diào)遞增，log₂₀₁₅2015=1．
不妨設(shè)0＜a＜b＜c，
∵f（a）=f（b）=f（c），
∴a+b=1，2015＞c＞1，
∴a+b+c的取值范圍是（2，2016）．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．