Question

15．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x），且當(dāng)0≤x₁≤x₂≤1時(shí)，有f（x₁）≤f（x₂），則f（$\frac{1}{2012}$）的值為$\frac{1}{128}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件，可求出f（0）=1，f（1）=1，再因?yàn)楫?dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，有f（x₁）≤f（x₂），可找到f（$\frac{1}{2012}$）的范圍為f（$\frac{1}{1458}$）≤f（$\frac{1}{2012}$）≤f（$\frac{1}{2187}$），求出f（$\frac{1}{1458}$）=f（$\frac{1}{2187}$）的值為同一個(gè)值，所以f（$\frac{1}{2012}$）的值也等于這個(gè)值．

解答 解：∵f（x）+f（1-x）=1，
令x=0，可得f（0）+f（1）=1，又f（0）=0，
∴f（1）=1，
再令x=$\frac{1}{2}$，
可得f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=1，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∵f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x），
∴f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{2•{3}^{6}}$=$\frac{1}{1458}$＞$\frac{1}{2012}$＞$\frac{1}{{3}^{7}}$=$\frac{1}{2187}$且當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，有f（x₁）≤f（x₂），
∴f（$\frac{1}{1458}$）≤f（$\frac{1}{2012}$）≤f（$\frac{1}{2187}$），
∵f（$\frac{1}{1458}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{486}$）=$\frac{1}{4}$f（$\frac{1}{162}$）=…=$\frac{1}{64}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{128}$，
f（$\frac{1}{2187}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{729}$）=$\frac{1}{4}$f（$\frac{1}{243}$）=…=$\frac{1}{128}$f（1）=$\frac{1}{128}$，
$\frac{1}{128}$≤f（$\frac{1}{2012}$）≤$\frac{1}{128}$，
∴f（$\frac{1}{2012}$）=$\frac{1}{128}$，
故答案為：$\frac{1}{128}$

點(diǎn)評(píng) 本這道題考查了抽象函數(shù)，運(yùn)用了賦值法、迭代法、兩邊夾的性質(zhì)求解，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力有很高的要求，有一定難度