Question

4．如圖，在⊙O直徑AB的延長線上任取一點(diǎn)C，過點(diǎn)C做直線CE與⊙O交于點(diǎn)D、E，在⊙O上取一點(diǎn)F，使$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，連接DF，交AB于G．
（1）求證：E、D、G、O四點(diǎn)共圓；
（2）若CB=OB，求$\frac{CB}{CG}$的值．

Answer 1

分析 （1）證明∠EDF=∠AOE，利用∠COE與∠AOE互補(bǔ)，可得∠COE與∠EDF互補(bǔ)，從而可得E、D、G、O四點(diǎn)共圓；
（2）利用四點(diǎn)共圓，結(jié)合割線定理，即可求$\frac{CB}{CG}$的值．

解答 （1）證明：∵∠EDF的度數(shù)等于$\widehat{EAF}$的度數(shù)的一半，而$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，
∴∠EDF的度數(shù)等于$\widehat{AE}$的度數(shù)．
∵∠AOF的度數(shù)等于$\widehat{AE}$的度數(shù)，
∴∠EDF=∠AOE，
∵∠COE與∠AOE互補(bǔ)，
∴∠COE與∠EDF互補(bǔ)，
∴E、D、G、O四點(diǎn)共圓；
（2）解：由（Ⅰ）知E、D、G、O四點(diǎn)共圓，
∴CE•CD=CO•CG，
∵CE•CD=CA•CB，
∴CA•CB=CO•CG，
∵CB=OB，
∴$\frac{CB}{CG}$=$\frac{CO}{CA}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定，考查割線定理，確定四點(diǎn)共圓是關(guān)鍵．