Question

19．解下列不等式：
（1）log₂x＞log${\;}_{\frac{1}{4}}$x+3；
（2）log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-2）＞0．

Answer 1

分析 （1）把不等式兩邊化為同底數(shù)，然后利用對數(shù)函數(shù)的性質轉化為一次不等式求解；
（2）直接由對數(shù)的運算性質化對數(shù)不等式為一元二次不等式組得答案．

解答 解：（1）由log₂x＞log${\;}_{\frac{1}{4}}$x+3，得
$lo{g}_{2}x＞-\frac{1}{2}lo{g}_{2}x+3$，即$\frac{3}{2}lo{g}_{2}x＞3$，
解得：x＞4．
∴不等式log₂x＞log${\;}_{\frac{1}{4}}$x+3的解集為（4，+∞）；
（2）由log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-2）＞0，得0＜x²-2x-2＜1，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-2＞0}\\{{x}^{2}-2x-3＜0}\end{array}\right.$，解得：-1$＜x＜1-\sqrt{3}$或$1+\sqrt{3}＜x＜3$．
∴不等式log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2x-2）＞0的解集為$（-1，1-\sqrt{3}）∪（1+\sqrt{3}，3）$．

點評 本題考查指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的解法，考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質，是基礎的計算題．