Question

17．已知拋物線y²=2x，P是拋物線的動弦AB的中點．
（1）當P的坐標為（2，3）時，求直線AB的方程；
（2）當直線AB的斜率為1時，求線段AB的垂直平分線在x軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用中點坐標公式和點差法，及直線的斜率公式，計算即可得到所求直線方程；
（2）設AB方程為y=x+b，代入拋物線方程，運用判別式大于0，韋達定理，求出中點和斜率，可得垂直平分線的方程，令y=0，進而得到所求范圍．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意知y₁+y₂=6，由$\left\{{\begin{array}{l}{y_1^2=2{x_1}}\\{y_2^2=2{x_2}}\end{array}}\right.$可得$y_1^2-y_2^2=2{x_1}-2{x_2}$，
變形得$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{2}{{{y_1}+{y_2}}}$，則${k_{AB}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$．
所以直線AB的方程為$y-3=\frac{1}{3}（x-2）$，即x-3y+7=0，
（2）由題意可設直線AB的方程為y=x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2x}\\{y=x+b}\end{array}}\right.$可得x²+2（b-1）x+b²=0．
依題意得△=4-8b＞0，所以$b＜\frac{1}{2}$，
易知x₁+x₂=2（1-b），y₁+y₂=（x₁+b）+（x₂+b）=2，
故AB的中點P的坐標為（1-b，1），
所以線段AB的垂直平分線的方程為y-1=-（x-1+b），
即x+y+b-2=0，其在x軸上的截距為2-b．
因為$b＜\frac{1}{2}$，所以$2-b＞\frac{3}{2}$，
所以截距的取值范圍為$（\frac{3}{2}，+∞）$．

點評 本題考查拋物線的方程和性質，主要考查方程的運用，聯立直線方程，運用韋達定理，同時考查點差法和直線的斜率和方程的求法，屬于中檔題．