Question

9．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點，將△ABE沿BE折起到圖2中△A₁BE的位置，得到四棱錐A₁-BCDE．
（Ⅰ）證明：CD⊥平面A₁OC；
（Ⅱ）當(dāng)平面A₁BE⊥平面BCDE時，四棱錐A₁-BCDE的體積為36$\sqrt{2}$，求點E到平面A₁CD的距離h的值．

Answer 1

分析 （I）在圖1中證明AC⊥BE，則在圖2中BE⊥平面A₁OC，再使用平行四邊形性質(zhì)證明CD∥BE即可；
（II）根據(jù)棱錐的體積求出a，由BE∥CD即可知道E到平面A₁CD的距離即為O到平面A₁CD的距離，結(jié)合（1）的結(jié)論即知h也是O到A₁C的距離．

解答 解：（Ⅰ）在圖1中，因為AB=BC=$\frac{1}{2}AD$=a，E是AD的中點，∠BAD=$\frac{π}{2}$，所以BE⊥AC，
即在圖2中，BE⊥A₁O，BE⊥OC，從而BE⊥平面A₁OC．
又CD∥BE，所以CD⊥平面A₁OC．
（Ⅱ）由已知，平面A₁BE⊥平面BCDE，且平面A₁BE∩平面BCDE=BE，
又由（Ⅰ）知，A₁O⊥BE，所以A₁O⊥平面BCDE，
即A₁O是四棱錐A₁-BCDE的高，
由圖1可知，A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，平行四邊形BCDE面積S=BC•AB=a²，
從而四棱錐A₁-BCDE的體積=$\frac{1}{3}×S×{A}_{1}O$=$\frac{1}{3}×{a}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a$=$\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^{3}$=36$\sqrt{2}$．
解得a=6．
∵BE∥CD，∴點E到平面A₁CD的距離等于點O到平面A₁CD的距離，
由（Ⅰ）知CD⊥平面A₁OC．CD?平面A₁CD，
∴平面A₁OC⊥平面A₁CD，
過O作OH⊥A₁C交A₁C于H，則OH⊥平面A₁CD，
∴點O到平面A₁CD的距離為OH，
在Rt△A₁OC中，A₁O=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a=3\sqrt{2}$，∴A₁C=6，
∴OH=$\frac{1}{2}$A₁C=3，
∴h=OH=3．

點評 本題考查了面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．