Question

20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知A，a，b，給出下列說法：
（1）若A≥90°，且a≤b，則此三角形不存在；
（2）若A≥90°，則此三角形最多有一個(gè)解；
（3）若A＜90°，a＜b時(shí)三角形不一定存在；
（4）若A＜90°，且a=bsinA，則此三角形為直角三角形，且B=90°；
（5）若A＜90°，且bsinA＜a≤b時(shí)，三角形有兩解．
其中正確說法的序號(hào)是（1）（2）（3）（4）．

Answer 1

分析 由已知的A，a，b，根據(jù)正弦定理表示出sinB，
（1）由A為鈍角或直角，得到B一定為銳角，即A大于B，根據(jù)大角對(duì)大邊可得a大于b，與已知的條件a小于等于b矛盾，故此三角形不存在，本選項(xiàng)正確；
（2）把A，a及b的值代入表示出的sinB，確定出sinB的值，由A為鈍角或直角，得到B為銳角，故B的角度只有一解，本選項(xiàng)正確；
（3）當(dāng)A=60°，a=1，b=3，得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{3×sin60°}{1}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}＞1$，此三角形不存在，本選項(xiàng)正確；
（4）由A為銳角，把a(bǔ)=bsinA代入表示出的sinB中，得到其值為1，根據(jù)B為三角形的內(nèi)角，可得出B為直角，從而得到三角形為直角三角形，本選項(xiàng)正確；
（5）取一個(gè)特例：a=b時(shí)，A=B，由A為銳角，得到B也為銳角，此三角形只有一解，本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

解答 解：由A，a，b已知，根據(jù)正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$，
（1）若A≥90°，根據(jù)大角對(duì)大邊得a＞b，故a≤b時(shí)，此三角形不存在，本選項(xiàng)正確；
（2）由A≥90°，根據(jù)大角對(duì)大邊得a＞b，進(jìn)而得到B為銳角，即此三角形最多有一解，本選項(xiàng)正確；
（3）當(dāng)A=60°，a=1，b=3，得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{3×sin60°}{1}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}＞1$，此三角形不存在，本選項(xiàng)正確；
（4）若A＜90°，且a=bsinA，得到sinB=1，由B為三角形的內(nèi)角，得到B=90°，此三角形為直角三角形，本選項(xiàng)正確；
（5）當(dāng)a=b時(shí)，A=B，此三角形為等腰三角形，只有一解，當(dāng)A＜90°，且bsinA＜a≤b時(shí)，三角形不一定有兩解，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故答案為：（1）（2）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域以及三角形的邊角關(guān)系，要說明一個(gè)命題是真命題，必須經(jīng)過嚴(yán)格證明，要說明一個(gè)命題為假命題，只需舉一個(gè)反例即可，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，本題屬于中檔題．