Question

10．對于函數y=f（x），x∈D，若對任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\sqrt{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$=M，則稱函數f（x）在D上的幾何平均數為M，已知f（x）=x³-x²+1，x∈[1，2]，則函數f（x）=x³-x²+1在[1，2]上的幾何平均數M=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據已知中對于函數y=f（x），x∈D，若存在常數C，對任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\sqrt{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$=M，則稱函數f（x）在D上的幾何平均數為M．我們易得若函數在區(qū)間D上單調遞增，則M應該等于函數在區(qū)間D上最大值與最小值的幾何平均數，由f（x）=x³-x²+1，D=[1，2]，代入即可得到答案．

解答 解：根據已知中關于函數f（x）在D上的幾何平均數為M的定義，
由于f（x）的導數為f′（x）=3x²-2x，在{1，2]內f′（x）＞0，
則f（x）=x³-x²+1在區(qū)間[1，2]單調遞增，
則x₁=1時，存在唯一的x₂=2與之對應，
且x=1時，f（x）取得最小值1，x=2時，取得最大值5，
故M=$\sqrt{1×5}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查了應用新定義分析題意解決問題．對于新定義的問題，需要認真分析定義內容，切記不可偏離題目．