Question

2．如圖，在Rt△BEC中，∠EBC=30°，∠BEC=90°，CE=1，現(xiàn)在分別以BE，CE為邊向Rt△BEC外作正△EBA和正△CED．
（Ⅰ）求線段AD的長；
（Ⅱ）比較∠ADC和∠ABC的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出BE，AE=BE=$\sqrt{3}$，DE=CE=1，∠AED=150°，利用余弦定理求線段AD的長；
（Ⅱ）比較∠ADC和∠ABC的大小，轉化為比較∠ADE與∠EBC的大�。�

解答 解：（Ⅰ）在Rt△BEC中，CE=1，∠EBC=30°，∴BE=$\sqrt{3}$，
在△ADE中，AE=BE=$\sqrt{3}$，DE=CE=1，∠AED=150°，
由余弦定理可得AD=$\sqrt{3+1-2×\sqrt{3}×1×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）}$=$\sqrt{7}$；
（Ⅱ）∵∠ADC=∠ADE+60°，∠ABC=∠EBC+60°，
∴問題轉化為比較∠ADE與∠EBC的大�。�
在△ADE中，由正弦定理可得$\frac{sin∠ADE}{AE}=\frac{sin∠AED}{AD}$，
∴sin∠ADE=$\frac{\frac{1}{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$＜$\frac{1}{2}$=sin30°，
∴∠ADE＜30°
∴∠ADC＜∠ABC．

點評 本題考查余弦定理的運用，考查正弦定理，考查學生分析解決問題的能力，正確運用正弦、余弦定理是關鍵．