Question

20．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且0是函數(shù)y=f（x）-1的一個零點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[-2，1]時，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設出f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x，得到系數(shù)的關(guān)系，解得a，b，c，進而得到解析式；
（2）由題意可得x²-3x+1＞m，恒成立，令g（x）=x²-3x+1 x∈[-2，1]，由單調(diào)性求得最小值即可．

解答 解：（1）因為f（x）是二次函數(shù)，
所以設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
因為0是y=f（x）-1的一個零點，
所以f（0）-1=0，所以c=1，
又因為f（x+1）-f（x）=2x，
即a（x+1）²+b（x+1）+c-ax²-bx-c=2x，
所以2（a-1）x+（a+b）=0，
所以2（a-1）=a+b=0，所以a=1，b=-1
所以f（x）=x²-x+1；
（2）不等式x²-x+1＞2x+m可化為x²-3x+1＞m，
令g（x）=x²-3x+1 x∈[-2，1]，
因為g（x）的對稱軸為$x=\frac{3}{2}$，
所以g（x）在[-2，1]上是單調(diào)遞減的，
所以g（x）_min=g（1）=-1，
所以m＜-1．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運用待定系數(shù)法，同時考查二次不等式恒成立問題，注意轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題，屬于中檔題．