Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)到直線l：x＝4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍．

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)．若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率．

Answer 1

解　(1)設(shè)M到直線l的距離為d，根據(jù)題意，d＝2|MN|.

由此得|4－x|＝2，

化簡得＋＝1，

所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為

＋＝1.

(2)法一　由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

將y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k²)x²＋24kx＋24＝0，

其中，Δ＝(24k)²－4×24(3＋4k²)＝96(2k²－3)>0，

解得k²>.

由根與系數(shù)的關(guān)系得，x₁＋x₂＝－，                     ①

x₁x₂＝.                                                  ②

又因A是PB的中點(diǎn)，故x₂＝2x₁，                               ③

將③代入①，②，得x₁＝－，x＝，

可得＝，且k²>，

解得k＝－或k＝，

所以，直線m的斜率為－或.

法二　由題意，設(shè)直線m的方程為y＝kx＋3，A(x₁，y₁)，

B(x₂，y₂)．

∵A是PB的中點(diǎn)，

∴x₁＝，                                                                                        ①

y₁＝.                                                                                         ②

又＋＝1，                                                                                 ③

＋＝1，                                                                                   ④

聯(lián)立①，②，③，④解得或

即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)或(－2,0)，

所以，直線m的斜率為－或.