Question

求過點(diǎn)(，－)，且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

解　法一　橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由橢圓的定義知，

2a＝

解得a＝2.由c²＝a²－b²可得b²＝4.

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.

法二　因?yàn)樗�求橢圓與橢圓＋＝1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在y軸上，且c²＝25－9＝16.

設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．

因?yàn)?i>c²＝16，且c²＝a²－b²，故a²－b²＝16.①

又點(diǎn)(，－)在所求橢圓上，

所以＝1，即＋＝1.②

由①②得b²＝4，a²＝20，

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.

規(guī)律方法 (1)一般地，解決與到焦點(diǎn)的距離有關(guān)問題時，首先應(yīng)考慮用定義來解決．

(2)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法

①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a²，b²的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程．

②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax²＋By²＝1(A>0，B>0，A≠B)．