Question

20．關(guān)于二項(xiàng)式（x-1）²⁰¹⁴的展開式有下列命題：
①該二項(xiàng)展開式中系數(shù)和是2²⁰¹⁴；
②該二項(xiàng)展開式中第六項(xiàng)為C⁶₂₀₁₄x²⁰⁰⁸；
③該二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1008項(xiàng)；
④當(dāng)x=2014時，（x-1）²⁰¹⁴除以2014的余數(shù)是1．
其中正確命題的序號是④．（注：把你認(rèn)為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析 利用賦值法求出各項(xiàng)系數(shù)和，判斷命題①錯誤；
利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第六項(xiàng)，判斷命題②錯誤；
據(jù)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，判斷命題③錯誤；
利用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式展開，判斷命題④正確．

解答 解：對于二項(xiàng)式（x-1）²⁰¹⁴的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和是（1-1）²⁰¹⁴=0，∴①錯誤；
該二項(xiàng)展開式中第六項(xiàng)為T₅₊₁=${C}_{2014}^{5}$•x^2014-5•（-1）⁵=-${C}_{2014}^{2009}$•x²⁰⁰⁹，∴②錯誤；
展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{2014}^{r}$•x^2014-r•（-1）^r，第1008項(xiàng)系數(shù)為-${C}_{2014}^{1007}$，是系數(shù)最小的項(xiàng)，③錯誤；
當(dāng)x=2014時，（2014-1）²⁰¹⁴=${C}_{2014}^{0}$•2014²⁰¹⁴-${C}_{2014}^{1}$•2014²⁰¹³+${C}_{2014}^{2}$•2014²⁰¹²-…
+${C}_{2014}^{r}$•2014^2014-r•（-1）^r+…-${C}_{2014}^{2013}$•2014+${C}_{2014}^{2014}$=k•2014+1，k∈N；
∴該數(shù)值除以2014的余數(shù)是1，④正確．
綜上，其中正確命題的序號是④．
故答案為：④．

點(diǎn)評 本題考查了求展開式的系數(shù)和的常用方法--賦值法，也考查了利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決展開式的特定項(xiàng)問題，考查了展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是中檔題目．