Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=log₈（x²-4mx+4m²+m+$\frac{1}{m-1}$），其中m是實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)m∈M時(shí)，f（x）對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，求M；
（2）當(dāng)m∈M時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為f（x）=log₃[（x-2m）²+m+$\frac{1}{m-1}$]，若f（x）的定義域?yàn)镽，則（x-2m）²+m+$\frac{1}{m-1}$＞0恒成立，進(jìn)而得到M；
（2）設(shè)U=x²-4mx+4m²+m+$\frac{1}{m-1}$，由于y=log₃U是增函數(shù)，故當(dāng)U最小f（x）最小，再由U的最小值為m+$\frac{1}{m-1}$，求得f（x）的最小值．

解答 解：（1）f（x）=log₃[（x-2m）²+m+$\frac{1}{m-1}$]，
若f（x）對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，
則（x-2m）²+m+$\frac{1}{m-1}$＞0恒成立，
即m+$\frac{1}{m-1}$＞0，
解得：m＞1時(shí)，
故M=（1，+∞）
（2）設(shè)U=x²-4mx+4m²+m+$\frac{1}{m-1}$，
∵y=log₃U是增函數(shù)，
∴當(dāng)U最小時(shí)f（x）最�。�
而U=（x-2m）²+m+$\frac{1}{m-1}$，顯然當(dāng)x=2m時(shí)，U的最小值為m+$\frac{1}{m-1}$，
此時(shí)f（x）_min=log3（m+$\frac{1}{m-1}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題