Question

20．解方程：e^x+e^-x-a=0．

Answer 1

分析 利用換元法，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)判別式以及一元二次方程的求根公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)t=e^x，則t＞0，
則方程等價(jià)為t+$\frac{1}{t}-a$，
即t²-at+1=0，
判別式△=a²-4，
若a²-4＜0，即-2＜a＜2時(shí)，方程無解，
若a²-4=0，即a=2或a=-2時(shí)，t=$-\frac{-a}{2}$=$\frac{a}{2}$，
即t=1或t=-1（舍），
由t=e^x=1，解得x=0，
即a=2時(shí)，x=0，
a=-2時(shí)方程無解．
若a²-4＞0，即a＜-2或a＞2時(shí)，
解得t=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$或t=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
由t=e^x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$得x=ln$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
由t=e^x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，得x=ln$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
綜上當(dāng)-2≤a＜2時(shí)，方程無解，
當(dāng)a=2時(shí)，方程的解集為{0}，
當(dāng)a＜-2或a＞2時(shí)，方程的解集為{ln$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，ln$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的求解，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．