Question

3．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)點(diǎn)F₂的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，∠F₁F₂B=$\frac{2π}{3}$，△F₁F₂A的面積是△F₁F₂B的面積的2倍，若|AB|=$\frac{15}{2}$，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的方程為：$\frac{1}{\sqrt{3}}y=x-c$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．不妨設(shè)y₁＜0，y₂＞0．與橢圓方程聯(lián)立可得：（b²+3a²）y²+$2\sqrt{3}^{2}cy$-3b⁴=0，由△F₁F₂A的面積是△F₁F₂B的面積的2倍，可得|y₁|=2|y₂|，再利用根與系數(shù)的關(guān)系及a²=b²+c²，可得b²=$\frac{5{c}^{2}}{4}$，a²=$\frac{9{c}^{2}}{4}$．利用|AB|=$\frac{15}{2}$，即可解出．

解答 解：設(shè)直線AB的方程為：$\frac{1}{\sqrt{3}}y=x-c$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．不妨設(shè)y₁＜0，y₂＞0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{\sqrt{3}}y=x-c}\\{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，
化為（b²+3a²）y²+$2\sqrt{3}^{2}cy$-3b⁴=0，
y₁+y₂=-$\frac{2\sqrt{3}^{2}c}{^{2}+3{a}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-3^{4}}{^{2}+3{a}^{2}}$，
∵△F₁F₂A的面積是△F₁F₂B的面積的2倍，
∴|y₁|=2|y₂|，
∴y₂=$\frac{2\sqrt{3}^{2}c}{^{2}+3{a}^{2}}$，y₁=-$\frac{4\sqrt{3}^{2}c}{^{2}+3{a}^{2}}$，
∴-$\frac{2\sqrt{3}^{2}c}{^{2}+3{a}^{2}}$×$\frac{4\sqrt{3}^{2}c}{^{2}+3{a}^{2}}$=$\frac{-3^{4}}{^{2}+3{a}^{2}}$，
化為b²+3a²=8c²．
又a²=b²+c²，
∴b²=$\frac{5{c}^{2}}{4}$，a²=$\frac{9{c}^{2}}{4}$．
∵|AB|=$\frac{15}{2}$，
∴|F₂B|=$\frac{1}{3}|AB|$=$\frac{5}{2}$，
∴y₁=|F₂B|sin60°=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
x₁=c+|F₂B|=c+$\frac{5}{4}$．
∴$^{2}（c+\frac{5}{4}）^{2}+{a}^{2}×（\frac{5\sqrt{3}}{4}）^{2}$=a²b²，
化為$^{2}（c+\frac{5}{4}）^{2}+\frac{75{a}^{2}}{16}$=a²b²，
∴c²-2c-8=0，
解得c=4，
∴b²=20，a²=36．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)關(guān)系、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．