人教金學(xué)典同步解析與測(cè)評(píng)八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)人教版
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7.【閱讀材料】如圖（1），在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$P$為底邊$BC$上一點(diǎn)，點(diǎn)$P$到兩腰的距離分別為$r_1$，$r_2$，腰上的高為$h$，連接$AP$，則$S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}=S_{\triangle ABC}$，即$\frac{1}{2}AB\cdot r_1 + \frac{1}{2}AC\cdot r_2=\frac{1}{2}AB\cdot h$，所以$r_1 + r_2 = h$（定值），即$PE + PF$為定值。
（1）【深入探究】將“如圖（1），在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$P$為底邊$BC$上一點(diǎn)”改成“如圖（2），$P$為等邊三角形$ABC$內(nèi)一點(diǎn)”，作$PE\perp AB$，$PF\perp AC$，$PM\perp BC$，$BG\perp AC$，垂足分別為$E$，$F$，$M$，$G$，有類似結(jié)論嗎？請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明。
（2）【理解與應(yīng)用】如圖（3），當(dāng)點(diǎn)$P$在$\triangle ABC$的外部時(shí)，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，$PE$，$PF$，$PM$和$BG$之間又有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由。
答案：（1）結(jié)論：$PE + PF+PM = BG$。
證明：連接$PA$，$PB$，$PC$。
因?yàn)?S_{\triangle ABC}=S_{\triangle PAB}+S_{\triangle PAC}+S_{\triangle PBC}$，
設(shè)等邊三角形$ABC$的邊長(zhǎng)為$a$。
則$\frac{1}{2}a\cdot BG=\frac{1}{2}a\cdot PE + \frac{1}{2}a\cdot PF+\frac{1}{2}a\cdot PM$，
兩邊同時(shí)除以$\frac{1}{2}a$，可得$PE + PF + PM=BG$。
（2）結(jié)論不成立，關(guān)系為$PE + PF - PM=BG$。
證明：連接$PA$，$PB$，$PC$。
因?yàn)?S_{\triangle ABC}=S_{\triangle PAB}+S_{\triangle PAC}-S_{\triangle PBC}$，
設(shè)等邊三角形$ABC$的邊長(zhǎng)為$a$。
則$\frac{1}{2}a\cdot BG=\frac{1}{2}a\cdot PE + \frac{1}{2}a\cdot PF-\frac{1}{2}a\cdot PM$，
兩邊同時(shí)除以$\frac{1}{2}a$，可得$PE + PF - PM = BG$。
