Question

18．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AD是∠BAC的平分線，過點(diǎn)D作DE⊥AD，垂足為點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{4}$．
（1）求線段BD的長；
（2）求∠ADC的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠CAD=∠DAB，推出∠BAD=∠BDE，得到△BED∽△BDA，由相似三角形的性質(zhì)得到BD²=BE•BA，即可得到結(jié)論；
（2）由余角的性質(zhì)得到∠ADE=∠AED，根據(jù)余角的性質(zhì)得到$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{BD}$，根據(jù)三角形函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵DE⊥AD，
∴∠BDE=∠CAD=90°-∠CDA，
∵∠CAD=∠DAB，
∴∠BAD=∠BDE，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BDA，
∴BD²=BE•BA，
∵AB=4，$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{4}$，
∴BE=1，
∴BD²=1×4=4，
∴BD=2；

（2）∵DE⊥AD，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵∠CAD=∠DAB，
∵△ACD∽△ADE，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{AD}{DE}$，
∵△BED∽△BDA，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠ADC=tan∠AED=$\frac{AD}{DE}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．