Question

6．等邊△ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點（與B、C不重合）設BP=x，連接AP，以AP為邊向兩側作等邊△APD和等邊△APE，分別與邊AB、AC交于點M、N．（如圖1）．
（1）求證：AM=AN；
（2）若BM=$\frac{3}{8}$，求x的值；
（3）求四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積為S與x之間的函數(shù)關系式及S的最小值；
（4）如圖2，連接DE分別與邊AB、AC交于點G，H，當x為何值時，∠BAD=15°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質得到∠PAN=∠DAM，證明△ADM≌△APN，根據(jù)全等三角形的性質證明結論；
（2）證明△BPM∽△CAP，根據(jù)相似三角形的性質列出比例式，解方程即可；
（3）作PH⊥AB于H，根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)的概念求出S_△ADP，根據(jù)四邊形ADPE與△ABC重疊部分四邊形AMPN的面積S=△ADP的面積得到答案；
（4）連接PG，根據(jù)菱形的性質、等腰直角三角形的性質計算即可．

解答 （1）證明：∵△ABC、△APD、△APE都是等邊三角形，
∴AD=AP，∠ADM=∠APN=60°，∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠PAN=∠DAM，
在△ADM和△APN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠PAN}\\{AD=AP}\\{∠ADM=∠APN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△APN，
∴AM=AN；
（2）解：∵∠PMB=∠MPA+∠BAP，∠APC=∠B+∠BAP，∠MPA=∠B=60°，
∴∠PMB=∠APC，又∠B=∠C，
∴△BPM∽△CAP，
∴$\frac{BM}{PC}$=$\frac{BP}{AC}$，即$\frac{\frac{3}{8}}{2-x}=\frac{x}{2}$，
整理得，4x²-8x+3=0，
解得，x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{3}{2}$，
∴當BM=$\frac{3}{8}$時，x的值為$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$；
（3）如圖1，作PH⊥AB于H，
∵△ADM≌△APN，
∴四邊形ADPE與△ABC重疊部分四邊形AMPN的面積S=△ADP的面積，
∵BP=x，∠B=60°，
∴BH=$\frac{1}{2}$x，PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AH=2-$\frac{1}{2}$x，
由勾股定理得，AP²=AH²+PH²=（2-$\frac{1}{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x$）²=x²-2x+4，
∵△ADP是等邊三角形，
∴S_△ADP=$\frac{1}{2}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP×AP=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AP²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴S的最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（4）連接PG，
當∠BAD=15°時，∵∠DAP=60°，
∴∠GAP=45°，
∵四邊形ADPE是菱形，
∴AP⊥DE，
∴AG=PG，
∵∠B=60°，BP=x，
∴BG=$\frac{1}{2}$x，AG=PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=2，
解得，x=2$\sqrt{3}$-2，
∴當x=2$\sqrt{3}$-2時，∠BAD=15°．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、二次函數(shù)的性質以及菱形的判定和性質，靈活運用相關的性質定理、正確作出輔助線是解題的關鍵．